Relaciones de orden e intervalos de los nùmeros reales
Visita la siguiente direcciòn electronica y observa el video:
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4reapr100a.pdf
Realiza tres ejemplos de relaciones de orden y de intervalos cerrado,abiertoy semiabierto
Suscribirse a:
Enviar comentarios (Atom)
25 comentarios:
Buenos dias profesora y lectores de este espacio, les escribe hoy 07 de Octubre del 2008 jhoycer gonzalez C.I. 12.181.502,perteneciente a la Seccion I-001D de Administracion de desastres.
En relacion a la actividad numero 2, es muy importante el video que se encuentra implicito dentro del tema ya que de entrada nos da un bosquejo y una idea clara relacionada con el conjunto de los numeros enteros y los numeros reales, por que los numeros reales estan dentro de los numeros enteros, las definiciones y explicaciones relacionadas del por que los numeros los numeros enteros son infinitos y por que los reales son ademas de infinitos, infinitesimos, asi como los intervalos y la recta real.
1).- Las Relaciones de Orden en los Números Reales
Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b)
Intervalo cerrado [a,b]
Intervalo abierto a la derecha [a,b)
Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b
% %
a b
% %
a b
% %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
a > b
a < b
a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
Buenos días mi nombre es Marielys Moreno C.I: 14.945.503, de la sección I001D De Administración De Desastres aula 07
Buenos días mi nombre es Guadalupe Molina, C.I.: 14.573.014, Sección I001D aula numero 7 de Administración de Desastre
Este video expresa que:son infinitos y los numeros reales son infinitos e infinitesimosesto se expresa en una recta numerica caracterzado como denso,donde exsisten numeros (+) y (-) con intervalos abiertos,cerrados,semiabiertos,semicerrados.Por lo tanto kos numeros reales abarcan a todos los conjuntos numericos.
Buenos días profesora y a todos mis compañeros lectores de este espacio, mi comentario a cerca del video de la actividad 2, lo encontré muy interesante ya que nos explica de manera clara cuales son los conjuntos de los números enteros, y el conjunto de los números reales, en este video nos explica que los números enteros son infinitos, y los números reales a demás de ser infinitos son infinitésimos, también se pueden identificar como conjunto denso, que a su ves es la recta numérica , la cual contiene a su derecha los números negativos y a su izquierda los números positivos. En la recta numérica hay intervalos que se identifican abiertos, cerrados, semiabiertos y semicerrados
LOS NÚMEROS REALES *
Los números reales son: * = * U Q y por lo tanto * * * y Q * *
Los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene
ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
a < b significa que b - a > 0
a * b significa que b - a * 0
PROPIEDADES
• Si a < b entonces a + c < b + c y a - c < b - c
• Si a < b y c > 0 entonces a • c < b • c y
• Si a < b y c < 0 entonces a • c > b • c y
• Si a < b entonces
Esta propiedad vale para los números racionales
Estas propiedades sirven para *.
INTERVALOS DE LA RECTA REAL
Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:
Intervalos abiertos:
{ x / 3 < x < 7 } = ( 3, 7 )
{ x / x < 7 } = ( - *, 7 )
{ x / x > 3 } = ( 3, * )
Intervalos cerrados:
{ x / 3 * x * 7 } = [ 3, 7 ]
Intervalos semiabiertos por la derecha o semicerrados por la izquierda:
{ x / 3 * x < 7 } = [ 3, 7 );
{ x / x * 3 } = [ 3, * )
Intervalos semiabiertos por la izquierda o semicerrados por la derecha:
{ x / 3 < x * 7 } = ( 3, 7 ]
{ x / x * 7 } = ( - *, 7 ]
Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto.
• Los conjuntos se pueden definir por:
EXTENSIÓN:
Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
COMPRENSIÓN:
Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única
A = { x * * / x < 6 } = { x * * / x* 5 }
B = { x * * / x es par }
C = { x * Z / -7 * x * 7 }
• SÍMBOLO * (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A * B
• OPERACIONES CON CONJUNTOS:
UNIÓN (U): A U B = { x / x * A y / o x * B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.
Si se tienen los conjuntos A = { x * * / x < 6 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces
A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }
INTERSECCIÓN ( * ): A * B = { x / x * A y x * B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A * B = { 1, 3, 5 }
COMPLEMENTARIO ( A ): El complementario de un conjunto A es el conjunto
A = { x / x * A }. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x * * / x > 7 }
DIFERENCIA: A - B = { x / x * A y x * B } En el ejemplo anterior A - B = { 2, 4 }
LOS NÚMEROS NATURALES *
Los números naturales son: * = { 0, 1, 2, 3, ••••••••} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.
LOS NÚMEROS ENTEROS Z
Los números enteros son: Z= { •••••••- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, •••••••} es un conjunto infinito y se representan en una recta. * * Z
LOS NÚMEROS RACIONALES Q
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.
es un conjunto infinito y Z * Q ya que
Se representan en una recta.
• Los enteros se representan como enteros.
• Los positivos y menores que la unidad:
se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales
• Los positivos y mayores que la unidad
,
es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:
• Los negativos mayores que - 1:
se dibuja:
• Los negativos menores que -1:
.
Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja
Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
Verifiquemos que la relación mayor o igual que es una relacion de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego la relacion " cumple la propiedad transitiva.
Ejemplo: "7 " "3 y "3 " "2 = "7 " "2
Propiedad Antisimétrica:
Si a y b son números reales y a " b, no es posible que se dé la relación b " a. entonces decimos que la relación que cumple es la propiedad antisimetrica.
Ejemplo: "8 " "6 = "6 " "8
Propiedad de Dicotomía:
Si a y b son dos números reales, se cumple que a " b ó b " a. Luego la relación " cumple con la propiedad de dicotomía.
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
La distancia entre 0 y +a es igual a la distancia entre 0 y -a. Esta distancia se llama valor absoluto y se representa |a|
|a| se lee: valor absoluto de a.
-a 0 +a
|+a| = valor absoluto de +a
|-a | = valor absoluto de - a
Grafico de la función Valor Absoluto en R
La grafica de la función valor absoluto se compone de dos rectas. Primero se representará la función valor absoluto para valores de x " 0.
Si x " 0 entonces f(x) = x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales les aparecen en la siguiente tabla:
X 0 1 2
Y 0 1 2
La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
La recta R sobre la cual representamos los números racionales e irracionales se llama Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al numero real a lo llamamos coordenada o abcisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto de coordenada a.
Tipos de intervalos reales:
• Intervalo cerrado
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
• Intervalo abierto
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
• Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los números reales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
• Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalo se denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
• Intervalo al infinito
Dada la recta ! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo infinito. Este intervalo se denota [a + °°)
a) [a , °°) = {x R x " a}
b) (a , + °°) = {x R x > a}
c) (-°°, a) = {x R x " a}
d) (-°°, a) = {x R x < a
buenos dias profesora mi nombre s laudy campo C.I E 1126241 pertenesco ala seccion 1001D del aula 07 de administraccion de desastres el video expresa que son infinitos y los numeros reales son infinitos e infinitesimosesto que se expresa en una recta numerica caracterizado como denso, existen nuemros (+)y(-) con intervalos. abiertos,cerrados,semiabiertos. por lo tanto los numeros reales abarcan los conjuntos numericos y la recta real.
hbunas tarde realizar prueba envio
prueba de envio
Buenas tardes lectores.Les escribe yasmil castillo CI 12997202 DE ADMINISTRACION Y DESASTRE SECCION IOO1D AULA O7 TURNO DIURNO ES MUY IM
PORTANTE EL VIDEO QUE SE ENCUENTRA A
DENTRO DE LA ACTIVIDAD YA QUE NOS BRINDA UN MEJOR VISION DE LOS NUMEROS ENTEROS Y REALES LOS NUMEROS
ENTEROS SON INFINITOS Y LOS REALES SON INFINITESIMO
Intervalo (matemática)
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación, búsqueda
Los intervalos son los subconjuntos conexos de la recta numérica. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente:
si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. (P)
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).
Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b[ para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.
imagen:intervalo.png
Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio abarca una serie de numeros consecutivos que se corresponden entre sí.
También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y (1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo enmedio.
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:
1. [a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
2. [a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
3. ]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
4. ]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
5. ] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
6. ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
7. [a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
8. ] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
9. ] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
10. {a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
11. {} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.
Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también definir a partir de su centro y de su radio:
Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x - c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B(c,r); B para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
_
B(c,r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B(c,r) = { x ε R, |x - c| < r }.
Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su cociente. Contestar a esta pregunto permitirá definir las cuatro operaciones sobre los intervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a + c , b + d ].
Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia GFDL.
Un entorno o vecindad de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor de δ. O sea:
E (a ; \delta) = \left\{ \left. x \in \real \ \ \right| \ \ |x - a| < \delta \right\}
En particular si x \ne a se denomina entorno reducido (E`).
E' (a ; \delta) = \left\{ \left. x \in \real \ \ \right| \ \ 0 < |x - a| < \delta \right\} el cual no es un intervalo pues es un conjunto disconexo
buenos dias mi nombre es ricardo guevara C.I.: 19523330 de la seccion I00D de Administracion De Desastres aula 07.
(RELACIONES DE ORDEN)
Ejemplo 1.
Sea "Ì " la relación de inclusión en P(A). Esta relación es un orden parcial en P(A). Por lo tanto (P(A), Ì ) es un conjunto parcialmente ordenado.
Ejemplo 2.
Sea Z + el conjunto de todos los enteros positivos. La relación "£ " es un orden parcial en Z + , como lo es también "³ ". Luego (Z + , £ ) es un conjunto parcialmente ordenado.
Ejemplo 3.
La relación de divisibilidad (b R a Û bï a) que se lee, b es divisor de a, es un orden parcial en Z + .
(INTERVALOS ABIERTOS)
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
(INTERVALOS CERRADOS)
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
(INTERVALOS SEMIABIERTOS)
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
NOTA:Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.
HOLA PROFE ME PARECIO EXCELENTE EL VIDEO Y LA NUEVA FORMA DE HACERNOS LLEGAR LA INFORMACION ADEMAS YO SOY MAS VISUAL Y SE MA HACE MAS FACIL VER LO QUE PUBLICA Y ES MEJOR QUE ESOS LARGOS TEMAS PARA ESTUDIAR, ME GUSTO MUCHO.
ROXANA TELLERIAS
SECCION 001-D ADMON DE DESASTRES
C.I.: 20.728.475
CORREO: MALLERLIN_14@HOTMAIL.COM
buenas noche profesora.
cuando hablamos de intervalos nos referimos a la distancia que separa un numero de otro si lo ejecutamos en una recta o grafica señalando en numeros las cantidades positivas y negativas.en este caso pude entender que los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.
-3 -2 -1 0 1 2 3
´sinceramente necesito de una explicacion con ejercicios numericos para poder llevar a la practica su enseñanza.
se despide
Eglee Zuleydi Rivas
C.I 15258937
ADMINISTRACION DE DESASTRES
seccion I001D aula 7
los intervalos abiertos cerrados y semi abiertos son conjuntos de numeros reales mayores y menores entre ellos positivos y negativos. pueden ser infinitos e infinitesimos eso quiere decir q señala expresiones decimales ejecutadas en una recta.
mi nombre es leonardo portillo C.I 15657343 seccion I001D aula 7 administracion de desastre.
BUENAS TARDES PROFESORA Y COMPAÑEROS DE CLASE DE LA SECCION I-001D.
CON RESPECTO A LA ACTIVIDAD NUMERO 2, EL VIDEO QUE DA LA EXPLICACION ACERCA DE LOS NUMEROS REALES ES MUY IMPORTANTE YA QUE NOS TERMINA DE ILUSTRAR SOBRE ESTE TEMA PARA COMPLEMENTAR LAS EXPLICACIONES DADAS POR LA PROFESORA EN EL AULA DE CLASE RELACIONADAS CON EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Y DE COMO A SU VEZ LOS NUMEROS REALES ESTAN DENTRO DE LOS NUMEROS ENTEROS, ASI COMO LOS NUMEROS ENTEROS SON INFINITOS Y POR QUE LOS REALES SON ADEMAS DE INFINITOS, INFINITESIMOS, ASI COMO LOS INTERVALOS ABIERTOS, CERRADOS, SEMIABIERTOS,SEMICERRADOS Y SU REPRESENTACION EN LA RECTA REAL.
UN NÚMERO REAL PUEDE SER UN NÚMERO RACIONAL O UN NÚMERO IRRACIONAL. LOS NÚMEROS RACIONALES SON AQUELLOS QUE PUEDEN EXPRESARSE COMO EL COCIENTE DE DOS NÚMEROS ENTEROS, TAL COMO 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES SON TODOS LOS DEMAŚ. LOS NÚMEROS RACIONALES TAMBIÉN PUEDEN DESCRIBIRSE COMO AQUELLOS CUYA REPRESENTACIÓN DECIMAL ES EVENTUALMENTE PERIÓDICA, MIENTRAS QUE LOS IRRACIONALES TIENEN UNA EXPANSIÓN DECIMAL APERIÓDICA:
EJEMPLOS
1/4 = 0.750000... ES UN NÚMERO RACIONAL PUESTO QUE ES PERIÓDICO A PARTIR DEL TERCER DECIMAL.
5/7 = 0.7142857142857142857.... ES RACIONAL Y TIENE UN PERÍODO DE LONGITUD 6 (REPITE 714285).
ES IRRACIONAL Y SU EXPANSIÓN DECIMAL ES APERIÓDICA
OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS REALES ES EN ALGEBRAICOS Y TRASCENDENTES. UN NÚMERO ES ALGEBRAICO SI EXISTE UN POLINOMIO QUE LO TIENE POR RAÍZ Y ES TRASCENDENTE EN CASO CONTRARIO. OBVIAMENTE, TODOS LOS NÚMEROS RACIONALES SON ALGEBRAICOS: SI ES UN NÚMERO RACIONAL, CON P ENTERO Y Q NATURAL, ENTONCES ES RAÍZ DEL BINOMIO QX=P. SIN EMBARGO, NO SE CUMPLE EL RECÍPROCO, NO TODOS LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS SON RACIONALES.
EJEMPLOS
EL NÚMERO ES ALGEBRAICO PUESTO QUE ES LA RAÍZ DEL POLINOMIO 8X3 − 12X2 + 6X − 8
UN EJEMPLO DE NÚMERO TRASCENDENTE ES
OPERACIONES CON LOS NUMEROS REALES:
CON NÚMEROS REALES PUEDEN REALIZARSE TODO TIPO DE OPERACIONES BÁSICAS CON DOS EXCEPCIONES IMPORTANTES:
1.- NO EXISTEN RAÍCES DE ORDEN PAR (CUADRADAS, CUARTAS, SEXTAS, ETC.) DE NÚMEROS NEGATIVOS EN NÚMEROS REALES, RAZÓN POR LA QUE EXISTE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS DONDE ESTAS OPERACIONES SÍ ESTÁN DEFINIDAS.
2.- NO EXISTE LA DIVISIÓN ENTRE CERO, PUES CARECE DE SENTIDO DIVIDIR ENTRE NADA O ENTRE NADIE, ES DECIR, NO EXISTE LA OPERACIÓN DE DIVIDIR ENTRE NADA.
ESTAS DOS RESTRICCIONES TIENEN REPERCUSIONES IMPORTANTES EN RAMAS MÁS AVANZADAS DE LAS MATEMÁTICAS: EXISTEN ASÍNTOTAS VERTICALES EN LOS LUGARES DONDE UNA FUNCIÓN SE INDEFINE, ES DECIR, EN AQUELLOS VALORES DE LA VARIABLE EN LOS QUE SE PRESENTA UNA DIVISIÓN ENTRE CERO, O NO EXISTE GRÁFICA REAL EN AQUELLOS VALORES DE LA VARIABLE EN QUE RESULTEN NÚMEROS NEGATIVOS PARA RAÍCES DE ORDEN PAR, POR MENCIONAR UN EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA.
LA PRINCIPAL CARACTERÍSTICA DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES LA COMPLETITUD, ES DECIR, LA EXISTENCIA DE LÍMITE PARA DADA SUCESIÓN DE CAUCHY DE NÚMEROS REALES.
EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES, DENOTADO POR ES AQUEL CONJUNTO EN EL QUE CADA ELEMENTO CUMPLE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
1. SI , ENTONCES (CERRADURA EN LA SUMA)
2. SI , ENTONCES (CONMUTATIVIDAD EN LA SUMA)
3. SI , ENTONCES (ASOCIATIVIDAD EN LA SUMA)
4. EXISTE DE MANERA QUE PARA TODO (NEUTRO ADITIVO)
5. PARA CADA EXISTE UN ELEMENTO TAL QUE (INVERSO ADITIVO)
6. SI , ENTONCES (CERRADURA EN LA MULTIPLICACIÓN)
7. SI , ENTONCES (CONMUTATIVIDAD EN LA MULTIPLICACIÓN)
8. SI , ENTONCES (ASOCIATIVIDAD EN LA MULTIPLICACIÓN)
9. EXISTE DE MANERA QUE PARA CUALQUIER (NEUTRO MULTIPLICATIVO)
10. PARA CADA EXISTE UN ELEMENTO TAL QUE (INVERSO MULTIPLICATIVO)
11. SI , ENTONCES (DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN EN LA SUMA)
12. SI , ENTONCES SE CUMPLE SÓLO UNA DE ESTAS: (TRICOTOMÍA)
O
O
O
13. SI , Y ENTONCES (TRANSITIVIDAD)
14. SI Y , ENTONCES (MONOTONÍA EN LA SUMA)
15. SI , Y , ENTONCES (MONOTONÍA EN LA MULTIPLICACIÓN)
16. SI ES UN CONJUNTO ACOTADO SUPERIORMENTE EN , ENTONCES TIENE SUPREMO EN (AXIOMA DEL SUPREMO)
LOS AXIOMAS DEL 1 AL 15 CORRESPONDEN A LA ESTRUCTURA MÁS GENERAL DE CUERPO ORDENADO. EL ÚLTIMO AXIOMA ES EL QUE DISTINGUE DE OTROS CUERPOS ORDENADOS COMO .
CONSTRUCCIÓN POR NÚMEROS DECIMALES
CONSIDERAMOS LOS NÚMEROS DECIMALES COMO LOS CONOCEMOS INTUITIVAMENTE. SABEMOS QUE , ES DECIR, EL NÚMERO Π SE EXPRESA COMO EL NÚMERO ENTERO 3 Y UNA SECUENCIA INFINITA DE DÍGITOS 1, 4, 1, 5, 9, 2, ETC.
UN NÚMERO DECIMAL SE EXPRESA ENTONCES COMO DONDE X ES UN NÚMERO ENTERO Y CADA DI ES UN ELEMENTO DEL CONJUNTO {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. ADEMÁS, CONSIDERAMOS QUE NO EXISTEN LAS COLAS DE 9.
AL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS DECIMALES DONDE X ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO SE LE DENOTA POR Y SE LE LLAMA EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES POSITIVOS.
AL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS DECIMALES DONDE X ES UN NÚMERO ENTERO NEGATIVO SE LE DENOTA POR Y SE LE LLAMA EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES NEGATIVOS.
AL NÚMERO DECIMAL SE LE LLAMA CERO.
AL CONJUNTO SE LE DENOTA POR Y SE LE LLAMA CONJUNTO DE NÚMEROS REALES.
SE DEFINE LA RELACIÓN DE ORDEN TOTAL DE LOS NÚMEROS DECIMALES COMO
1. PARA TODO
2. SIEMPRE QUE Y
3. PARA TODO
4. DADOS DOS NÚMEROS REALES CUALESQUIERA Y , EN CUALQUIERA DE LOS CASOS SIGUIENTES:
O
O Y ADEMÁS EXISTE TAL QUE PARA TODO Y
1).- LAS RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
• DEFINICIÓN:
AL IGUAL QUE EN LOS CONJUNTOS N, Z Y Q, EN LOS NÚMEROS REALES R UTILIZAREMOS LA RECTA NUMÉRICA Y LOS SIGNOS >, <, ", " E = PARA ESTABLECER LAS RELACIONES DE ORDEN ENTRE DOS NÚMEROS DADOS. EN ESTOS CONJUNTOS, LOS NÚMEROS SITUADOS A LA DERECHA SON MAYORES QUE LOS SITUADOS A LA IZQUIERDA.
RELACIONES ", " EN R.
CONSIDEREMOS LOS NÚMEROS REALES "3 Y "2. PARA COMPARARLOS HACEMOS APROXIMACIONES RACIONALES DE LAS RAÍCES.
"3 " 1,732 Y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
AL GENERALIZAR DOS NÚMEROS REALES A Y B, DECIMOS QUE A < B SI B ESTÁ MAS A LA DERECHA QUE A EN LA RECTA REAL.
SI A < B, ENTONCES B - A > 0
LOS INTERVALOS EN R SE DEFINEN COMO LOS INTERVALOS EN Q.
PARA EXPRESAR LOS INTERVALOS ABIERTOS ES SUFICIENTE EL SIGNO < (MENOR QUÉ), PERO PARA EXPRESAR LOS INTERVALOS CERRADOS, SE NECESITA EL SIGNO " (MENOR O IGUAL QUÉ)
INTERVALO ABIERTO (A,B) INTERVALO CERRADO [A,B] INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA [A,B) INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA (A,B]
% %
A B % %
A B % %
A B % %
A B
EL INTERVALO ABIERTO (A,B) ESTÁ FORMADO POR LOS NÚMEROS REALES X COMPRENDIDOS ENTRE A Y B, EXCLUIDOS A Y B. SE EXPRESA POR A < X < B.
EL INTERVALO CERRADO [A,B] ESTÁ FORMADO POR LOS NÚMEROS REALES X COMPRENDIDOS ENTRE A Y B, INCLUIDOS A Y B. SE EXPRESA POR A " X " B.
ANÁLOGAMENTE, EL INTERVALO [A,B) SE EXPRESA A " X < B. Y EL INTERVALO (A,B] SE EXPRESA POR A < X " B.
DE LA RECTA NUMÉRICA SE PUEDE DEDUCIR QUE:
• CUALQUIER NUMERO POSITIVO ES MAYOR QUE CUALQUIER NUMERO NEGATIVO
• CUALQUIER NUMERO NEGATIVO ES MAYOR QUE MENOR QUE CUALQUIER NUMERO POSITIVO.
ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES
DADOS DOS NÚMEROS REALES A Y B SIEMPRE SE CUMPLE UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS:
• A > B
• A < B
• A = B
PARA ORDENAR UN CONJUNTO DE NÚMEROS REALES, SE COMPARAN DICHOS NÚMEROS Y SE ESTABLECEN LAS RELACIONES DE ORDEN (>, < O =) QUE EXISTEN ENTRE ELLOS.
• EJEMPLOS:
PARA ORDENAR "5 Y 2"3. SE CALCULA SU DIFERENCIA: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. COMO EL RESULTADO ES NEGATIVO, SIGNIFICA QUE 2"3 > "5.
UN CONJUNTO DE NÚMEROS REALES SE PUEDE ORDENAR EN FORMA DECRECIENTE (MAYOR A MENOR), UTILIZANDO LA RELACIÓN >. SI APARECEN NÚMEROS IRRACIONALES SE DEBEN APROXIMAR.
POR EJEMPLO, PARA ORDENAR EN FORMA DECRECIENTE LOS NÚMEROS 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, UTILIZANDO LA RELACIÓN > CON APROXIMACIÓN A LAS CENTESIMAS.
SE ESCRIBEN LOS NÚMEROS RACIONALES Y LOS IRRACIONALES EN FORMA DECIMAL, CON APROXIMACIÓN A LAS CENTESIMAS, ES DECIR, CON DOS CIFRAS DECIMALES:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
LUEGO SE ORDENAN LOS NÚMEROS DE MAYOR A MENOR:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
ENTONCES LOS NÚMEROS CON LOS VALORES ORIGINALES QUEDARÍAN ORDENADOS ASÍ:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
PARA ORDENAR EN FORMA CRECIENTE (DE MENOR A MAYOR) UN CONJUNTO DE NÚMEROS REALES, SE UTILIZA EL SIGNO <. SI HAY NÚMEROS QUE NO ESTÁN EXPRESADOS EN FORMA DECIMAL, SE ESCRIBEN EN FORMA DECIMAL Y LUEGO SE COMPARAN Y ORDENAN.
POR EJEMPLO, PARA ORDENAR EN FORMA CRECIENTE LOS NÚMEROS 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, PRIMERO SE ESCRIBEN LOS NÚMEROS EN FORMA DECIMAL APROXIMADOS, POR EJEMPLO, A LAS DÉCIMAS: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
LUEGO SE ORDENAN DE MENOR A MAYOR:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y SE REEMPLAZAN LOS VALORES. RESULTA: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
2).- PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DE ORDEN EN LOS REALES
VERIFIQUEMOS QUE LA RELACIÓN MAYOR O IGUAL QUE ES UNA RELACION DE ORDEN TOTAL, PARA ELLO, COMPROBAREMOS QUE SE CUMPLEN LAS PROPIEDADES REFLEXIVA, ANTISIMETRICA, TRANSITIVA Y DICOTÓMICA.
PROPIEDAD REFLEXIVA:
SI A ES UN NUMERO REAL, SE CUMPLE QUE A " A; ENTONCES SE DICE QUE LA RELACIÓN " CUMPLE LA PROPIEDAD REFLEXIVA.
EJEMPLO: "5 " "5 YA QUE "5 = "5
PROPIEDAD TRANSITIVA:
SI A, B Y C PERTENECEN A LOS NÚMEROS REALES, SI A " B Y B " C, LUEGO LA RELACION " CUMPLE LA PROPIEDAD TRANSITIVA.
EJEMPLO: "7 " "3 Y "3 " "2 = "7 " "2
PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA:
SI A Y B SON NÚMEROS REALES Y A " B, NO ES POSIBLE QUE SE DÉ LA RELACIÓN B " A. ENTONCES DECIMOS QUE LA RELACIÓN QUE CUMPLE ES LA PROPIEDAD ANTISIMETRICA.
EJEMPLO: "8 " "6 = "6 " "8
PROPIEDAD DE DICOTOMÍA:
SI A Y B SON DOS NÚMEROS REALES, SE CUMPLE QUE A " B Ó B " A. LUEGO LA RELACIÓN " CUMPLE CON LA PROPIEDAD DE DICOTOMÍA.
3).- VALOR ABSOLUTO EN LOS NÚMEROS REALES
LA DISTANCIA ENTRE 0 Y +A ES IGUAL A LA DISTANCIA ENTRE 0 Y -A. ESTA DISTANCIA SE LLAMA VALOR ABSOLUTO Y SE REPRESENTA |A|
|A| SE LEE: VALOR ABSOLUTO DE A.
-A 0 +A
|+A| = VALOR ABSOLUTO DE +A
|-A | = VALOR ABSOLUTO DE - A
GRAFICO DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO EN R
LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO SE COMPONE DE DOS RECTAS. PRIMERO SE REPRESENTARÁ LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO PARA VALORES DE X " 0.
SI X " 0 ENTONCES F(X) = X. LA GRAFICA DE ESTA FUNCIÓN ES UNA RECTA CUYA ECUACIÓN ES Y = X
PARA REPRESENTAR ESTA RECTA BASTA CON REPRESENTAR DOS PUNTOS DE ELLA, LOS CUALES LES APARECEN EN LA SIGUIENTE TABLA:
X 0 1 2
Y 0 1 2
LA GRAFICA DE ESTA RECTA ESTARA SITUADA EN EL PRIMER CUADRANTE (X > 0, Y > 0)
SI X < 0 ENTONCES F(X) = - X. LA GRAFICA DE ESTA FUNCIÓN ES UNA RECTA CUYA ECUACIÓN ES Y = - X
PARA REPRESENTAR ESTA RECTA BASTA CON REPRESENTAR DOS PUNTOS DE ELLA, LOS CUALES APARECEN EN LA SIGUIENTE TABLA:
X -1 -2
Y 1 2
LA GRAFICA DE ESTA RECTA ESTARÁ UBICADA EN EL SEGUNDO CUADRANTE X <0,Y>0. LUEGO LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO VIENE DADA POR LA UNIÓN DE LAS DOS RECTAS.
4).- ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
A CONTINUACIÓN SE APLICARÁN LAS PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO PARA RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA: |AX+B|=C
POR EJEMPLO: OBSERVA COMO SE RESUELVE LA SIGUIENTE ECUACIÓN: |3X+2|=5.
DE ACUERDO CON LAS PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, DE LA ECUACIÓN |3X+2|=5 SE ORIGINAN DOS ECUACIONES:
• 3X+2=5
3X= 3
X=1
• 3X+2=-5
3X=-7
X=-7/3
LA ECUACIÓN TIENE DOS SOLUCIONES. SI SE SUSTITUYE CADA SOLUCIÓN EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, SE DEBE CUMPLIR LA IGUALDAD.
• PARA X=1
|3X+2|=5
|3 . 1+2|=5 |3 +2|=5
|5|=5
• PARA X=-7/3
|3X+2|=5
|3 . (-7/3)+2|=5 |-7+2|=5
|-5|=5
“EN RESUMEN, AL RESOLVER UNA ECUACIÓN DE LA FORMA |AX+B|=C, HALLAMOS EL VALOR DE X EN AX+B=C Y EN -(AX+B)=C DONDE A, B, C R.”
5).- LA RECTA REAL E INTERVALOS DE COORDENADAS DE UN PUNTO DE LA RECTA REAL
LA RECTA R SOBRE LA CUAL REPRESENTAMOS LOS NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES SE LLAMA RECTA REAL. DADO UN PUNTO P CUALQUIERA EN LA RECTA, AL NUMERO REAL A LO LLAMAMOS COORDENADA O ABCISA DE P Y LO DENOTAMOS POR P(A), QUE SE LEE: PUNTO DE COORDENADA A.
6).- COORDENADAS DE UN PUNTO EN LA RECTA REAL
A CADA PUNTO DE UNA RECTA REAL SE LE COLOCA UN ÚNICO NÚMERO REAL LLAMADO COORDENADA O ABCISA DEL PUNTO Y, RECÍPROCAMENTE, A CADA PUNTO DE ESA RECTA SE LE COLOCA UN UNICO NUMERO PARA QUE SEA SU COORDENADA. SI ESTA DOBLE ASIGNACIÓN SE HACE DE MANERA QUE PUNTOS DISTINTOS TENGAN COORDENADAS DISTINTAS Y CADA NUMERO SEA COORDENADA DE ALGÚN PUNTO, SE HA OBTENIDO UNA CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA ENTRE LA RECTA Y EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. ESTA ASIGNACIÓN SE DENOMINA SISTEMA DE COORDENADAS EN LA RECTA, Y UNA RECTA CON UN SISTEMA DE COORDENADAS SE LLAMA RECTA REAL.
• SI SE USA UNA LETRA MAYÚSCULA PARA DENOTAR UN PUNTO DE UNA RECTA SE USARÁ SU CORRESPONDIENTE LETRA MINÚSCULA PARA DENOTAR SU COORDENADA, ASI A(A) SE LEE”A DE A” Y DENOTA QUE EL NUMERO REAL A ES COORDENADA DEL PUNTO A.
• AL NUMERO REAL CERO LE CORRESPONDE EL PUNTO O Y SE LLAMA PUNTO DE ORIGEN.
• AL NUMERO REAL UNO LE CORRESPONDE EL PUNTO U Y SE LLAMA PUNTO DE UNIDAD.
7).- DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN LA RECTA REAL
EN UNA RECTA REAL, DADOS LOS PUNTOS A Y B TALES QUE SUS COORDENADAS SEAN LOS NÚMEROS REALES A Y B, RESPECTIVAMENTE, SE TIENE QUE LA DISTANCIA ENTRE ESOS PUNTOS ES LA DIFERENCIA ENTRE EL NUMERO MAYOR Y EL NUMERO MENOR, O SEA, EL NUMERO A - B O B - A, DEPENDIENDO DE CUAL DE LOS NÚMEROS SEA MAYOR O MENOR.
“SI R ES UN PUNTO DE ABCISA A, Y Q ES UN PUNTO DE ABCISA B, LA DISTANCIA ENTRE R Y Q ES IGUAL AL VALOR ABSOLUTO DE LA DIFERENCIA DE LAS ABCISAS O COORDENADAS D(R,Q) = |B-A|”
8).- PUNTOS MEDIOS Y DISTANCIAS ENTRE PUNTOS
LA COORDENADA M DEL PUNTO MEDIO M DEL SEGMENTO DE EXTREMOS A(A) Y B(B) ESTÁ DADA MEDIANTE M=A+B/2. ¿POR QUÉ?
VEAMOS, SI M(M) ES EL PUNTO MEDIO, ENTONCES D(AM) = D(MB), Y SE CUMPLE QUE M - A = B - M. AL SUMAR A AMBOS MIEMBROS M+A SE TIENE QUE 2M=A+B, Y AL DIVIDIR ENTRE 2 SE OBTIENE QUE M=A+B/2.
POR EJEMPLO, SOBRE LA RECTA REAL, ¿CUÁL ES LA COORDENADA DEL PUNTO MEDIO M SEGMENTO AB TAL QUE A(2) Y B(10)?
YA QUE M ES EL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB, SU COORDENADA M DEBE SER LA MEDIA ARITMÉTICA, ES DECIR, M=2+10/2=6.
EJEMPLOS:
• ¿CUÁL ES LA DISTANCIA DEL PUNTO A(-3) AL ORIGEN DE COORDENADAS?
LA RESPUESTA ES 3 PORQUE LA DISTANCIA DE UN PUNTO CUALQUIERA DE LA RECTA REAL AL ORIGEN DE COORDENADAS ES SU COORDENADA CARENTE DE SIGNO, ES DECIR, EL VALOR ABSOLUTO DE SU COORDENADA.
• DADOS LOS PUNTOS A(-3), B(6) Y C(7). ¿CUÁL DE ELLOS ESTÁ MAS LEJOS DEL ORIGEN DE COORDENADAS? ¿Y CUAL ESTÁ MAS CERCA?
UN PUNTO ESTÁ MAS LEJOS DE OTRO SI SU DISTANCIA ES MAYOR QUE LA OTRA Y ESTÁ MAS CERCA SI SU DISTANCIA ES MENOR. SE TIENE EN ESTE CASO QUE
D(OA)=|0-(-3)|=3, D(OB)= |0-6| Y D(OC)= |0-7|=7. POR ENDE, EL PUNTO C ES EL QUE ESTA MAS CERCANO.
• DADOS LOS PUNTOS A(-3), B(0), C(4) Y O(12), ¿CUÁL DE LOS TRES PUNTOS RESTANTES ESTÁ MAS ALEJADO DEL PUNTO B? ¿Y CUAL ESTA MAS CERCANO A EL?
LAS DISTANCIAS DE LOS PUNTOS A B SON D(AB)=|0-(-3)|=3, D(BC)=|4-0|=4 Y D(BP)= |12-0|=12. POR LO TANTO, EL PUNTO MAS ALEJADO ES EL PUNTO PY EL PUNTO MAS CERCANO ES A.
9).- PROPIEDADES DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
DISTANCIA POSITIVA:
CALCULEMOS LA DISTANCIA D(A,B) DADOS LOS PUNTOS A Y B DE LA RECTA !, DE COORDENADAS 2 Y 6 RESPECTIVAMENTE.
LA DISTANCIA (D) ENTRE 2 Y 6 ES 4, INDEPENDIENTEMENTE DE QUE SE MIDA DE DERECHA A IZQUIERDA O VICEVERSA.
LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS DE UNA RECTA ES SIEMPRE UN NUMERO POSITIVO; ES DECIR, D(A, B) " 0.
DISTANCIA CERO EN PUNTOS COINCIDENTES:
AL CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS R DE COORDENADA 5 Y Q DE COORDENADA 5, OBSERVAMOS QUE LA DISTANCIA ES IGUAL A CERO.
LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ES CERO, SI Y SOLO SI DICHOS PUNTOS COINCIDEN; ES DECIR, D(Q, R)= 0 Q = R
DESIGUALDAD TRIANGULAR:
DADOS LOS PUNTOS P, Q, R PERTENECIENTES A LA RECTA R, CUANDO R ES MAYOR QUE P Y Q, SIEMPRE SE CUMPLIRÁ LO SIGUIENTE:
D(P, R) = D(P, Q) + D(Q, R)
CUANDO R ESTÁ ENTRE P Y Q, SIEMPRE SE CUMPLIRÁ QUE:
D(P, R) < D(P, Q) + D(Q, R)
DADOS TRES PUNTOS A, B, C SOBRE LA RECTA REAL, SE CUMPLE QUE:
D(A, B) " D(A, C) + D(C,B)
10).- INTERVALOS REALES
LOS NÚMEROS QUE ESTÁN ORDENADOS EN FORMA CRECIENTE O DECRECIENTE PUEDEN AGRUPARSE EN CONJUNTOS. EN EL CASO DE LOS NÚMEROS REALES SE HACE NECESARIO CREAR SUBCONJUNTOS QUE LLAMAREMOS INTERVALOS, LOS CUALES PUEDEN AGRUPARSE DE VARIAS FORMAS.
TIPOS DE INTERVALOS REALES:
• INTERVALO CERRADO
DADA LA RECTA ! Y DOS NÚMEROS A Y B EN ELLA, EL INTERVALO CERRADO DE EXTREMOS A Y B ESTÁ FORMADO POR TODOS LOS NÚMEROS REALES QUE SON MAYORES O IGUALES QUE A Y MENORES QUE B, CON A Y B INCLUIDOS; LO DENOTAMOS ASI: [A,B].
[A,B] = {X R A " X " B}
• INTERVALO ABIERTO
DADA LA RECTA ! Y DOS NÚMEROS A Y B EN ELLA, EL INTERVALO ABIERTO DE EXTREMOS A,B ESTÁ FORMADO POR TODOS LOS NÚMEROS REALES QUE SON MAYORES QUE A Y MENORES QUE B, SIN INCLUIR NI A NI B, Y LO DENOTAMOS ASÍ: (A,B)
(A,B) = {X R A < X < B}
• INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA
DADA LA RECTA ! Y LOS NÚMEROS A Y B EN ELLA, EL INTERVALO SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA DE EXTREMOS A,B ESTÁ FORMADO POR TODOS LOS NÚMEROS REALES MAYORES QUE Y MENORES E IGUALES QUE B; ES DECIR, EXCLUYE A A E INCLUYE A B. ESTE INTERVALO SE DENOTA (A,B]
(A,B] = {X R A < X " B}
• INTERVALO SEMIABIERTO A LA DERECHA
DADA LA RECTA ! Y LOS NÚMEROS A Y B EN ELLA, EL INTERVALO A LA DERECHA DE EXTREMOS A,B ESTA FORMADO POR TODOS LOS NÚMEROS REALES MAYORES O IGUALES QUE A Y MENORES QUE B, ES DECIR, INCLUYE A A Y EXCLUYE A B. ESTE INTERVALO SE DENOTA [A,B).
[A,B) = {X R A " X < B}
• INTERVALO AL INFINITO
DADA LA RECTA ! Y EL NÚMERO A, CONSIDEREMOS EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES MAYORES O IGUALES QUE A. AL REPRESENTAR EN LA RECTA OBSERVAMOS QUE TODOS LOS NÚMEROS REALES A LA DERECHA DE A PERTENECEN A ESTE INTERVALO, POR ELLO NO PODEMOS REPRESENTARLO MEDIANTE UN SEGMENTO. REPRESENTAMOS MEDIANTE UNA SEMIRRECTA DE ORIGEN A Y EXTREMO INFINITO. ESTE INTERVALO SE DENOTA [A + °°)
A) [A , °°) = {X R X " A}
B) (A , + °°) = {X R X > A}
C) (-°°, A) = {X R X " A}
D) (-°°, A) = {X R X < A}
Sección I001D Admon. Desastres (CIU) Aula 07
C.I.: 12.750.270
Ejemplo de Relaciones de Orden:
a) -2 < 1 => -2+3 < 1+3 => 1 < 4
b) 3x > 8 => -3+3x > 8-3 => x > 5
Ejemplo de Intervalo Cerrado:
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Ejemplo de Intervalo Abierto:
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Ejemplo de Intervalo Semiabierto:
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
MARJUA FREITES C.I: 12523164
Administración De Desastres SECCION: 001-D AULA 7 FECHA: 14/10/2008
Orden en el conjunto de los números reales
Ejemplo:
Represente en la recta numérica los números 6/5 y -7/2
Solución:
6/5 =1.2 y -7/2=-3.5
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica 6/5y -7/2 de la siguiente manera.
___-3.5_____0__1.2_______
b) La relación "menor que" en el conjunto de los números reales.
En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera.
Ejemplo
a.) 4< 5 pues 4-5= -1 y -1 es negativo
b.) -3<1pues -3-1= -4 y -4 es negativo
C.) -5< -2 pues -5-(-2)= -3 y -3 es negativo
De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero.
c) La relación "mayor que" en el conjunto de los números reales.
Ejemplo
a.) 6 >2pues 6-2=4 y 4 es positivo
b.) -3>1pues 3-(-1)=4 y 4 es positivo
C.) -3>-5pues -3-(-5)=2 y 2 es positivo
De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero.
INTERVALOS
INTERVALOS ABIERTOS
EJEMPLOS
A)( 1,3)= {X€R/1< X<3}
B) (-7/5,2)= {X€R/ -7/5< X<2}
C)]3,7[= {X€R/3< X<7}
Intervalos Cerrados
EJEMPLOS:
A) [ -7/3,2]= {X€R/-7/3≤X≤2}
B) [0,5]= {X€R/0≤X≤5}
C) [2,4]= {X€R/2≤X≤4}
INTEVALOS SEMIABIERTOS
EJEMPLOS
A) { X€R/-2≤X<1} = [-2,1)
B){ X€R/≤√2X<1}= [√2, π)
C){X€R/-3≤X<4} = [-3,4)
Liliana Montiel
C.I 14.924.671
Sección: 001- D / Aula: 07
Carrera: Administración de Desastre
Fecha: 16 Oct. 08
Las Relaciones de Orden en los Números Reales
Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b - a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b) Intervalo cerrado [a,b] Intervalo abierto a la derecha [a,b) Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
% %
a b % %
a b % %
a b % %
a b
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por a < x < b.
El intervalo cerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
• Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
• Cualquier numero negativo es mayor que menor que cualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
• a > b
• a < b
• a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
• Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 - 2"3 =2,24 - 2 . 1, 73 = 2,24 - 3,46 = -1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; - 1,3; -5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > con aproximación a las centésimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centésimas, es decir, con dos cifras decimales:
-5/3= -1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; -1,3; -"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 -"3 = -1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < -1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -"3 < -1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1
2).- Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales
Verifiquemos que la relación mayor o igual que es una relación de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego la relación " cumple la propiedad transitiva.
Ejemplo: "7 " "3 y "3 " "2 = "7 " "2
Propiedad Antisimétrica:
Si a y b son números reales y a " b, no es posible que se dé la relación b " a. entonces decimos que la relación que cumple es la propiedad antisimetrica.
Ejemplo: "8 " "6 = "6 " "8
Propiedad de Dicotomía:
Si a y b son dos números reales, se cumple que a " b ó b " a. Luego la relación " cumple con la propiedad de dicotomía.
3).- Valor Absoluto en los Números Reales
La distancia entre 0 y +a es igual a la distancia entre 0 y -a. Esta distancia se llama valor absoluto y se representa |a|
|a| se lee: valor absoluto de a.
-a 0 +a
|+a| = valor absoluto de +a
|-a | = valor absoluto de - a
Grafico de la función Valor Absoluto en R
La grafica de la función valor absoluto se compone de dos rectas. Primero se representará la función valor absoluto para valores de x " 0.
Si x " 0 entonces f(x) = x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales les aparecen en la siguiente tabla:
X 0 1 2
Y 0 1 2
La grafica de esta recta estará situada en el primer cuadrante (x > 0, y > 0)
Si x < 0 entonces f(x) = - x. la grafica de esta función es una recta cuya ecuación es y = - x
Para representar esta recta basta con representar dos puntos de ella, los cuales aparecen en la siguiente tabla:
x -1 -2
y 1 2
La grafica de esta recta estará ubicada en el segundo cuadrante x <0,y>0. luego la grafica de la función valor absoluto viene dada por la unión de las dos rectas.
4).- Ecuaciones con Valor Absoluto
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
• 3x+2=5
3x= 3
x=1
• 3x+2=-5
3x=-7
x=-7/3
La ecuación tiene dos soluciones. Si se sustituye cada solución en la ecuación original, se debe cumplir la igualdad.
• Para x=1
|3x+2|=5
|3 . 1+2|=5 |3 +2|=5
|5|=5
• Para x=-7/3
|3x+2|=5
|3 . (-7/3)+2|=5 |-7+2|=5
|-5|=5
“En resumen, al resolver una ecuación de la forma |ax+b|=c, hallamos el valor de x en ax+b=c y en -(ax+b)=c donde a, b, c R.”
5).- La Recta Real e Intervalos de Coordenadas de un Punto de la Recta Real
La recta R sobre la cual representamos los números racionales e irracionales se llama Recta Real. Dado un punto P cualquiera en la recta, al numero real a lo llamamos coordenada o abcisa de P y lo denotamos por P(a), que se lee: punto de coordenada a.
6).- Coordenadas de un Punto en la Recta Real
A cada punto de una recta real se le coloca un único número real llamado coordenada o abcisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le coloca un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina sistema de coordenadas en la recta, y una recta con un sistema de coordenadas se llama recta real.
• Si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada, así A(a) se lee ”A de a” y denota que el numero real a es coordenada del punto A.
• Al numero real cero le corresponde el punto o y se llama punto de origen.
• Al numero real uno le corresponde el punto u y se llama punto de unidad.
7).- Distancia entre 2 Puntos en la Recta Real
En una recta real, dados los puntos A y B tales que sus coordenadas sean los números reales a y b, respectivamente, se tiene que la distancia entre esos puntos es la diferencia entre el número mayor y el número menor, o sea, el número a - b o b - a, dependiendo de cual de los números sea mayor o menor.
“Si R es un punto de abcisa a, y Q es un punto de abcisa b, la distancia entre R y Q es igual al valor absoluto de la diferencia de las abcisas o coordenadas d(R,Q) = |b-a|”
8).- Puntos Medios y Distancias entre Puntos
La coordenada m del punto medio M del segmento de extremos A(a) y B(b) está dada mediante m=a+b/2. ¿Por qué?
Veamos, si M(m) es el punto medio, entonces d(AM) = d(MB), y se cumple que m - a = b - m. Al sumar a ambos miembros m+a se tiene que 2m=a+b, y al dividir entre 2 se obtiene que m=a+b/2.
Por ejemplo, sobre la recta real, ¿Cuál es la coordenada del punto medio M segmento AB tal que A(2) y B(10)?
Ya que M es el punto medio del segmento AB, su coordenada m debe ser la media aritmética, es decir, m=2+10/2=6.
Ejemplos:
• ¿Cuál es la distancia del punto A (-3) al origen de coordenadas?
La respuesta es 3 porque la distancia de un punto cualquiera de la recta real al origen de coordenadas es su coordenada carente de signo, es decir, el valor absoluto de su coordenada.
• Dados los puntos A(-3), B(6) y C(7). ¿Cuál de ellos está más lejos del origen de coordenadas? ¿y cual está Mas cerca?
Un punto está más lejos de otro si su distancia es mayor que la otra y está mas cerca si su distancia es menor. Se tiene en este caso que
d(OA)=|0-(-3)|=3, d(OB)= |0-6| y d(OC)= |0-7|=7. por ende, el punto C es el que esta mas cercano.
• Dados los puntos A(-3), B(0), C(4) y O(12), ¿Cuál de los tres puntos restantes está mas alejado del punto B? ¿y cual esta mas cercano a el?
Las distancias de los puntos a B son d(AB)=|0-(-3)|=3, d(BC)=|4-0|=4 y d(BP)= |12-0|=12. por lo tanto, el punto mas alejado es el punto Py el punto mas cercano es A.
9).- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
Distancia positiva:
Calculemos la distancia d(A,B) dados los puntos A y B de la recta !, de coordenadas 2 y 6 respectivamente.
La distancia (d) entre 2 y 6 es 4, independientemente de que se mida de derecha a izquierda o viceversa.
La distancia entre 2 puntos de una recta es siempre un numero positivo; es decir, d(A, B) " 0.
Distancia cero en puntos coincidentes:
Al calcular la distancia entre los puntos R de coordenada 5 y Q de coordenada 5, observamos que la distancia es igual a Cero.
La distancia entre dos puntos es cero, si y solo si dichos puntos coinciden; es decir, d(Q, R)= 0 Q = R
Desigualdad triangular:
Dados los puntos P, Q, R pertenecientes a la recta r, cuando R es mayor que P y Q, siempre se cumplirá lo siguiente:
d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)
Cuando R está entre P y Q, siempre se cumplirá que:
d(P, R) < d(P, Q) + d(Q, R)
Dados tres puntos A, B, C sobre la recta real, se cumple que:
d(A, B) " d(A, C) + d(C,B)
10).- Intervalos Reales
Los números que están ordenados en forma creciente o decreciente pueden agruparse en conjuntos. En el caso de los números reales se hace necesario crear subconjuntos que llamaremos intervalos, los cuales pueden agruparse de varias formas.
Tipos de intervalos reales:
• Intervalo cerrado
Dada la recta! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
• Intervalo abierto
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
• Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los números reales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
• Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalo se denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
• Intervalo al infinito
Dada la recta! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo infinito. Este intervalo se denota [a + °°)
a) [a , °°) = {x R x " a}
b) (a , + °°) = {x R x > a}
c) (-°°, a) = {x R x " a}
d) (-°°, a) = {x R x < a}
buenos tardes soy mayrilin acacio de la seccion I00D de administracion de desastre cedula 15495901:
estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, entre estos vimos: el Conjunto de los Números Naturales, el Conjunto de los Números Enteros, el Conjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los Números Irracionales. Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, a los cuales llamaremos intervalos.
Intervalos abiertos:
(a, b) = {x R / a < x < b}
Cerrado:
[a, b] = {x R / a ≤ x ≤ b}
Semi Abierto por la izquierda:
(a, b] = {x R / a < x ≤ b}
semi Abierto por la derecha:
[a, b) = {x R / a ≤ x < b}
Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos
intervalo abierto
____-5____(____0__.1______)_____
-2<1<4
intervalo cerrado
___-5_[_____0_.1_____]___
-2,2< 1 < 4
intervalo semiabierto a la izquierda
__-5_____(____0__.1____]____4__
-2< 1 <3.1
intervalo a la derecha
_-5____[____0___1_____)___4______5
-2< 1 < 3.1
Glenda Gámez Marvez C.I 11.348.354
CIU Administración de Desastre
Sección I001-D Aula 07
Profesora hasta este momento es que pude solucionar el problema con el blog. Espero me considere
INTERVALOS
Intervalos Abiertos:
Ejemplos
a) ( 5,7) = {X€R/5< X<7}
b) (-2/3,4) = {X€R/ -2/3< X<4}
c) (2,6) = {X€R/2< X<6}
Intervalos Cerrados
Ejemplos:
a) [ -14/4,4] = {X€R/-14/4≤X≤4}
b) [1,7] = {X€R/1≤X≤7}
c) [6,10] = {X€R/6≤X≤10}
Intervalos semi abiertos
Ejemplos:
a) { X€R/-4≤X<3} = [-4,3)
b) { X€R/≤√6X<2}= [√6, 2)
c) {X€R/-9≤X<5} = [-9,5)
ANA CASAS CI:14774053
ADMINISTRACION DE DESASTRES SECCION I-001-D
AULA 7
Ejemplo de Relaciones de Orden:
a) 5< 6
b) -6<2
c) √7>√6
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Ejemplo de Intervalo Abierto:
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}
Ejemplo de Intervalo Semiabierto:
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Publicar un comentario