Paso Nº1
Investigar
1.-Concepto de algebra, expresiones algebraica,tèrmino algebraico
2.-Elementos de un tèrmino algebraico
3.-Clasificaciòn de los polinomios
4.-Grado de un polinomio
5.-Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
paso nº2
Observar varias veces los videos de productos notables y factorizaciòn
16 comentarios:
LILIANA MONTIEL
C.I 14.924.671
ADMINISTRACION DE DESASTRE
SECCION 001-D AULA 007
FECHA: 20/10/2008
Definición álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
Expresiones algebraicas
El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una expresión algebraica. Por ejemplo, las siguientes son expresiones algebraicas.
Una expresión algebraica se dice un término algebraico si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son términos algebraicos.
En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes. Por ejemplo, en el término 3x3y2, el 3 es coeficiente de x3y2, x3 es coeficiente de 3y2 y y2 es coeficiente de 3x3. Los coeficientes que sean números (como el tres del ejemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales. Si dos términos se ditinguen tan solo por su coeficiente numérico, entonces estos se dice que son términos semejantes. Por ejemplo,
y
son términos semejantes.
Un término se dice racional entero si sus literales están combinadas solamente por la operación de multiplicación. Por lo tanto, todas las expresiones siguientes son términos racionales enteros:
.
El grado de un término racional entero es la suma de los exponentes de sus literales. Por ejemplo, x6, 5100a2b y s3t4p5 son términos de grados 6, 3 y 12 respectivamente.
Una expresión que es tan solo un término se llama monomio. Dos términos combinados por adición o sustracción forman un binomio. Ejemplos de binomios son
.
Tres términos combinados por adición o sustracción forman un trinomio. Una combinación de cualquier número de términos forma lo que se conoce con el nombre general de multinomio. Cuando todos los términos de un multinomio son racionales enteros, entonces el multinomio puede llamarse también polinomio. Un ejemplo de polinomio es la expresión siguiente:
.
El grado de un polinomio será el grado de su término de mayor grado. Así, el grado del polinomio del ejemplo anterior es 6.
Un término algebraico consta de las siguientes partes
• Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).
• Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores
Ejemplo:
En 7ab2c ; 7 es coeficiente de ab2c
a es coeficiente de 7b2c
b2 es coeficiente de 7ac
c es coeficiente de 7ab2
En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
• Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.
• Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.
Ejemplos:
a) -2x2; Signo: negativo
Coeficiente: -2
Variable: x
Exponente: 2
b) ax2y3; Signo: positivo
Coeficiente: a
Variables: x , y
Exponentes: 2 (de la x)
3 (de la y)
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Clasificación de los Polinomios
Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo: Tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo: Son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo: Tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1.- Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2.- Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio: Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Las expresiones algebraicas son muy complejas, y en los videos tratan de explicar paso por paso como resolver dichos ejercicios, en el 2do video de ve puede entender una manera clara como se resulven los polinomios. Excelente video, sin duda aclara cualquier duda que se pueda tener.
Buenos dias profesora y lectores de este espacio, les escribe hoy 26 de Octubre del 2008, Jhoycer Gonzalez C.I. 12.181.502, perteneciente a la seccion I-0001D, aula 7, del CIU de Administracion de Desastres, En relacion a los videos que se encuentran implicitos dentro de las actividades, son de gran ayuda ya explican en muy buena forma lo relacionado a lo que a los productos notables y factorizacion se refiere.
Definicion de Algebra:
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
Definición:
Expresión algebraica: Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. (F. Pröschle, Algebra, Ediciones Ceres)
Término algebraico y sus partes
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
Reducir
Reduciendo los positivos:
Reduciendo los negativos:
Tendremos:
Clasificacion de los Polinomios, grado de un polinomio y pasos a seguir para resolver operaciones de polinomios:
Que es un polinomio:
Es una expresion algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Caracteristicas:
Se caracteriza por tener mas de tres terminos.
Clasificacion:
Monomio:cuando tiene un solo termino.
Binomio:cuando tiene dos terminos.
trinomio:cuando tiene tres terminos.
Tipos:
Polinomio Nulo.
Polinomio Constante.
Polinomio Ordenado.
Polinomio Heterogeneo.
Polinomio Homogeneo.
Polinomio Completo.
Grado de un polinomio:
Absoluto:es el grado del termino de grado absoluto mayor.
Relativo:es el grado del polinomio con respecto a una letra en especifico y corresponde al mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
MARJUA FREITES C.I: 12523164
SECCION: 001-D ADMINISTRACION DE DESASTRES AULA : 7 FECHA: 22/10/2008
ALGEBRA: Parte de las matemáticas que estudia la cantidad considerada en general y representada por letras u otros signos: el punto de partida del álgebra es la aritmética
Es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.. El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.. , en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Termino algebraico: Un término algebraico es una expresión que se compone de un coeficiente, una literal y un exponente. Por ejemplo en el termino algebraico:
....2
3x2
el coeficiente es 3, la literal es x y el exponente es 2.
Ahora si tienes una solo término algebraico se le llama monomio, si sumas o restas dos se le llama binomio y en general si sumas o restas 2 o mas terminos algebraicos se le llama polinomio.
XPRESIÓN ALGEBRAICA
Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.
De acuerdo al número de términos puede ser:
MONOMIO: tiene uno término Ej. 5 x2yz4 ;
BINOMIO: tiene dos términos Ej. ; p + q
TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x2 + 3x - 5
POLINOMIO O MULTINOMIO: tiene varios términos
CLASIFICACION DE LOS POLINOMIOS
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes. Algunos ejemplos de funciones polinómicas son:
- P(x) = 10x3 ? 150x + 500 - Q(x) = 10x5 ? 1/5x2 ? 3x + 7
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Clasificación de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
Grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo:
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Ejemplo:
El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado.
Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y tiene un grado 4, el mismo grado que el término x2y2.
Pasos para resolver operaciones con polinomios
Adición: Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.
Para que entiendas mejor: primero se ordenan y si es necesario completar alguno de los polinomios se completan con cero (0)
Para sumar dos polinomios se agrupan los
Términos del mismo grado y se suman sus
Coeficientes. El resultado es otro polinomio.
Ejemplos:
Sean los polinomios:
P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
Determinaremos el polinomio suma.
Aplicando la regla
P(x) + Q(x) =
P(x) = -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1
Q(x)= 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
P(x) + Q(x) = -2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x – 1
Sustracción: La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo, se le cambia el signos a los coeficientes del sustraendo, se ordenan los polinomios y se completan con cero(0) de ser necesario dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman algebraicamente sus coeficientes. El resultado es otro polinomio
Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x).
Ejemplo
Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2
Cambiando el signo a los coeficientes del sustraendo queda
Q(x) = -3x3+6x2+5x+2
P(X)= -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1
- Q(X) = -3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2
P(x) - Q(x) = -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3
Multiplicación: Para la multiplicación se ordena y se completa ,se tienen que multiplicar los términos entre ellos.
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos de igual grado.
Para operar se deben tener en cuenta las propiedades:
Distributiva del producto sobre la suma de números reales y del producto de potencias de la misma base.
Sean los polinomios:
P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1
Q(x) = 3 x2 – x + 2, determinaremos P(x).Q(x) también de dos formas distintas.
Disposición práctica
P(x)= -2 x4 +5 x3 +0x2– 3 x + 1
Q(x)= 3 x2 – x + 2
_____________________________________
- 4 x4 + 10 x3 + 0 x2 - 6 x + 2
2 x5 – 5 x4 + 0 x3 + 3 x2 – x
-6 x6 + 15 x5 + 0 x4 – 9 x3 + 3 x
_______________________________________
- 6 x6 + 17 x5 – 9 x4 + x3 + 6 x2 – 7x + 2
DIVISION DE POLINOMIOS
División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.
Pasos:
• Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.
• Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.
• Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.
• Se realizan las sumas y restas necesarias.
Ejemplos:
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.
• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos
Buenos noche profesora y lectores de este espacio, les escribe Mariely Moreno C.I. 14.945.503, perteneciente a la sección I-0001D, aula 7, del CIU de Administración de Desastres, En cuanto a los videos las actividades que se exponen , son de gran ayuda su explicación es muy buena, es relacionado a lo a los productos notables y factorizacion.
Álgebra
rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Expresión algebraica:
es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:
;
Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:
Tiene grado 1 + 2 = 3;
tiene grado
.
Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.
Por ejemplo: (i)
es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).
(ii)
es un binomio ( y es un polinomio).
(iii)
es un trinomio ( y es un polinomio).
• es un monomio (que no es un polinomio).
• es un binomio ( que no es polinomio)
Término algebraico:
es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:
,
,
,
, el cálculo del área de un triángulo la rapidez media
; En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y
el coeficiente literal.
; En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y
el coeficiente literal.
Elementos de un término algebraico
consta de las siguientes partes:
• Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).
• Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores
Ejemplo:
En 7ab2c ; 7 es coeficiente de ab2c
a es coeficiente de 7b2c
b2 es coeficiente de 7ac
c es coeficiente de 7ab2
En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
• Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.
• Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.
Ejemplos:
a) -2x2; Signo: negativo
Coeficiente: -2
Variable: x
Exponente: 2
b) ax2y3; Signo: positivo
Coeficiente: a
Variables: x , y
Exponentes: 2 (de la x)
3 (de la y)
Clasificación de los polinomios
Monomio: es el polinomio que está formado por un solo término.
Ejemplo: P(x) = - x4 , P(x) = 15x2
Binomio: es un polinomio formado por dos términos.
Ejemplo: P(x) = x3 + 1 , P(x) = 7x2 + 1
Trinomio: es el que está formado por tres términos.
Ejemplo: P(x) = x2 ? 2x + 1.
Polinomio cero ó polinomio nulo: es aquel cuyo coeficientes son todos iguales a cero (0).
Ejemplo: P(x) = 0.
Polinomio constante: está formado por un solo término constante.
Ejemplo: P(x) = 10, P(x) = -2.
Polinomio identidad: se escribe P(x) = x. La función polinómica asociada al polinomio identidad es P(x) = x.
Ejemplo: P(3) = 3, P(1) = 1.
Polinomio de primer grado: se escriben de la forma: P(x) = ax + b, donde a y b son constantes.
Polinomio de segundo grado: son de la forma: P(x) = ax2 + bx + c, Ejemplo: P(x) = x2 ? 3x + 6, P(x) = x2 + 3x.
Grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo:
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Ejemplo:
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Buenas tarde
Acacio Mayrilin
C:I:15495901
Administracion de Desastre
Seccion:I001D Aula7
1.-)Concepto de algebra
Es una extensión de la aritmética en la cual se desconoce el valor de una de las cantidades con las que se opera. Es la rama de las matemáticas que estudia estructuras, relaciones y cantidades.
Se trabaja con las mismas reglas que en la aritmética agregando un par de conceptos tales como las formulas y las ecuaciones. En el Algebra se estudia los números de el modo mas general posible.
En el algebra los números son representados por símbolos tales como a,b,x,y
En el algebra se usan letras para representar números o usamos letras para la demostración de reglas y formulas para mostrarlo de una manera general que es apta para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para cualquier numero existente. Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje algebraico o notación algebraica.
Expresiones algebraica:
Una expresión algebraica es una combinación de números , variables , y operaciones de sumas división etc.
Raíz cuadrada de 2x - 6 / x 4x - 7x + 2
Términos : Son las partes de las cuales consta una expresión algebraica y están separados por signos + y – ej.
4 términos 2x – 6 x + 7x – 1 =
Términos semejantes : Son los que tiene el mismo coeficiente numérico ej.
Nota: el signo > significa elevado a la potencia.
6 x>5 75 x>5
Un término algebraico consta de las siguientes partes:
Signo: Puede ser positivo (+), o negativo (-).
Coeficiente: En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores.
En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
Variable: (o parte literal). Cantidad generalizada.
Exponente: Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.
Un término algebraico consta de cuatro elementos:
1. Signo
2. Coeficiente ó Constante
3. Variable ó Literal.
4. Exponente
2.-)Clasificacion de los polinomios
-Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
-Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
-Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
-Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
-Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
-Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
-Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
-Monomio:
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
-Binomio:
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
-Trinomio:
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Clasificación de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
-Suma de polinomios:
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
-Multiplicación de polinomios:
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
-Multiplicación de un monomio por un polinomi:
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
-Multiplicación de polinomios:
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
benas trdes profesora le escribe el alumno yasmil castillo ci 12997202 de la seccion Ioo1D de administracion de desastre el video de esta esta muy bueno porque nos da vision mas clara de los producto notables se los recomiendo que lo vea
Álgebra
rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
Expresión algebraica:
es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:
;
Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:
Tiene grado 1 + 2 = 3;
tiene grado
.
Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.
Por ejemplo: (i)
es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).
(ii)
es un binomio ( y es un polinomio).
(iii)
es un trinomio ( y es un polinomio).
• es un monomio (que no es un polinomio).
• es un binomio ( que no es polinomio)
Término algebraico:
es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:
,
,
,
, el cálculo del área de un triángulo la rapidez media
; En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y
el coeficiente literal.
; En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y
el coeficiente literal.
Elementos de un término algebraico
consta de las siguientes partes:
• Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).
• Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores
Ejemplo:
En 7ab2c ; 7 es coeficiente de ab2c
a es coeficiente de 7b2c
b2 es coeficiente de 7ac
c es coeficiente de 7ab2
En general, se le llama coeficiente a una constante (con todo y signo), que es un factor de las variables de cualquier término algebraico.
• Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.
• Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma.
Ejemplos:
a) -2x2; Signo: negativo
Coeficiente: -2
Variable: x
Exponente: 2
b) ax2y3; Signo: positivo
Coeficiente: a
Variables: x , y
Exponentes: 2 (de la x)
3 (de la y)
Clasificación de los polinomios
Monomio: es el polinomio que está formado por un solo término.
Ejemplo: P(x) = - x4 , P(x) = 15x2
Binomio: es un polinomio formado por dos términos.
Ejemplo: P(x) = x3 + 1 , P(x) = 7x2 + 1
Trinomio: es el que está formado por tres términos.
Ejemplo: P(x) = x2 ? 2x + 1.
Polinomio cero ó polinomio nulo: es aquel cuyo coeficientes son todos iguales a cero (0).
Ejemplo: P(x) = 0.
Polinomio constante: está formado por un solo término constante.
Ejemplo: P(x) = 10, P(x) = -2.
Polinomio identidad: se escribe P(x) = x. La función polinómica asociada al polinomio identidad es P(x) = x.
Ejemplo: P(3) = 3, P(1) = 1.
Polinomio de primer grado: se escriben de la forma: P(x) = ax + b, donde a y b son constantes.
Polinomio de segundo grado: son de la forma: P(x) = ax2 + bx + c, Ejemplo: P(x) = x2 ? 3x + 6, P(x) = x2 + 3x.
Grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo:
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Ejemplo:
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
1.-Concepto de algebra, expresiones algebraica,tèrmino algebraico
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Se llama término algebraico a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
2.-Elementos de un tèrmino algebraico
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado
3.-Clasificaciòn de los polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Clasificación de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
4.-Grado de un polinomio
El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado.
Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y tiene un grado 4, el mismo grado que el término x2y2.
5.-Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
A) Se debe ordenar el polinomio en forma decreciente ; es decir desde su mayor grado hasta su menor grado.
B) Se resuelve el polinomio depéndiendo del caso:
Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
HOLA MI NOMBRE ES LAUDY CAMPO C.I 1126241 DELA SECCION I001D DEL AULA 07 DE ADMINISTRACION DE DESASTRES.
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente,
expresion algebraicas
Expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. (F. Pröschle, Algebra, Ediciones Ceres)
Una expresión algebraica se dice un término algebraico si sus constantes o variables están combinadas mediante cualquier operación algebraica excepto la adición y la sustracción. Las siguientes expresiones son términos algebraicos.
Término algebraico y sus partes
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
-4x2
signo
exponente
coeficiente
base o literal
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
clasificacion de los terminos algebraicos..
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes
poliniomio
En matemáticas un polinomio es una expresión matemática que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos.
Por extensión las funciones polinómicas son las funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase importante de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas
grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo: Tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo: Son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo: Tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
buenos dias profesora yo soy guadalupe molina C.I 14573014
seccion I001-d
aula 07
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
Expresiones algebraicas
El resultado de aplicar una o más veces cualquier operación algebraica a dos o más números es una expresión algebraica.
Término algebraico y sus partes
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Término algebraico y sus partes
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Que es un polinomio:
Es una expresion algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.
Caracteristicas:
Se caracteriza por tener mas de tres terminos.
Clasificacion:
Monomio:cuando tiene un solo termino.
Binomio:cuando tiene dos terminos.
trinomio:cuando tiene tres terminos.
Tipos:
Polinomio Nulo.
Polinomio Constante.
Polinomio Ordenado.
Polinomio Heterogeneo.
Polinomio Homogeneo.
Polinomio Completo.
Grado de un polinomio:
Absoluto:es el grado del termino de grado absoluto mayor.
Relativo:es el grado del polinomio con respecto a una letra en especifico y corresponde al mayor exponente de dicha letra en el polinomio.
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
los videos tratan de explicar paso por paso como se resolver los ejercios con dadas formulas, en el 2do video se puede entender de manera clara como se resulven los polinomios. estos videos nos ayuda a entender mejor las clases presenciales.
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
y son términos semejantes.
y son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
y no son términos semejantes.
Reducción de términos semejantes
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:
ROXANA TELLERIAS
C.I 20728475
ADMINISTRACION DE DESASTRE
SECCION 001-D AULA 007
FECHA:28/10/08
ALGEBRA:ES LA PARTE DE LA MATEMATICA QUE TRATA DE LA CANTIDAD GENERAL.
CANTIDADES ALGEBRAICAS: ESTAN REPRECENTADA POR LAS LETRAS.
EXPRECIONES ALGEBRAICAS: ES TODA CANTIDAD REPRECENTADA POR LETRAS O NUMEROS.
TERMINOS ALGEBRAICOS: ES TODA CANTIDAD DE UNA EXPRECION ALGEBRAICA SEPARADA POR EL SIGNO.
CLASIFICACION DE LAS EXPRECIONES ALGEBRAICAS:MONOMIO,BINOMIO,TRINOMIO,POLINOMIO
Glenda Gámez Marvez
C.I 11.348.354
CIU Administración de desastre
Sección I001-D Aula: 07
1.- El álgebra: es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el algebra es una de las principales ramas de la matemáticas.
2.- Expresión algebraica: es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
3.- Termino algebraico: Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
4.- Elementos de un término algebraico: En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra.
5.- Clasificación de un polinomio:
Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo: Tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado. P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo:Son de distinto grado. P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo: Tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado: Está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales: son iguales si verifican: 1Los dos polinomios tienen el mismo grado. 2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes: Son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio: Es un polinomio que consta de un sólo monomio. P(x) = 2x2
Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios. P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios. P(x) = 2x2 + 3x
6.-Grados de un polinomio:
Polinomio de grado cero P(x) = 2
Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
7.- Procedimientos para resolver operaciones polinomios
1. Expresión en lenguaje algebraico de situaciones del entorno.
2. Cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas.
3. Identificación del nombre de expresiones algebraicas y de su grado.
4. Suma, resta, multiplicación y división de monomios.
5. Suma y diferencia de polinomios.
6. Aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto a la suma en la multiplicación de polinomios.
7. Realización del cociente de un polinomio por un monomio.
8. Desarrollo de igualdades notables.
9. Identificación de la función lineal como la función polinómica de primer grado, y de la función cuadrática como función de segundo grado.
10. Resolución de problemas mediante el planteamiento y resolución de expresiones algebraicas
Soy Ana Cssas c.i:14774053 seccion:I-001-D ADMINISTRACION DE DESASTRES AULA:7
ALGEBRA:ES LA PARTE DE LA MATEMATICA QUE TRATA LA CANTIDAD GENERAL
CANTIDADES ALGEBRAICAS:ESTANREPRESENTADAS POR LETRAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS: ES TODA CANTIDAD REPRESENTADA POR LETRAS O NUMEROS
TERMUNO ALGEBRAICO: ES TODA CANTIDAD DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA SEPARADA POR EL SIGNO (+) O (-)
ELEMENTOS DE UNTERMINO ALGEBRAICO
1)SIGNO:+, -
COEFICIENTE : NUMERO QUE PRECEDE A LAS LETRAS DE UN TERMINO ALGEBRAICO
COEFICIENTE
CLASIFICACION DE LA EXPRESIONES ALGEBRAICAS ; MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO, POLINOMIO
GRADO DE UN POLINOMIO:ES EL MAYOR EXPONENTE DE LA VARIABLE
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Clasificación de los Polinomios
Polinomio nulo: Tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo: Tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo: Son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3
Polinomio completo: Tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1.- Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2.- Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3
Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Clasificación de polinomios por el número de términos
Monomio: Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio: Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio: Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 6
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
os iguales a cero (0).
Ejemplo: P(x) = 0.
Polinomio constante: está formado por un solo término constante.
tod
Ejemplo: P(x) = 10, P(x) = -2.
Polinomio identidad: se escribe P(x) = x. La función polinómica asociada al polinomio identidad es P(x) = x.
Ejemplo: P(3) = 3, P(1) = 1.
Polinomio de primer grado: se escriben de la forma: P(x) = ax + b, donde a y b son constantes.
Polinomio de segundo grado: son de la forma: P(x) = ax2 + bx + c, Ejemplo: P(x) = x2 ? 3x + 6, P(x) = x2 + 3x.
Grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo:
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
Ejemplo:
Pasos a seguir para resolver operaciones polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 • (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 • (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) • Q(x) = (2x2 - 3) • (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
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